第1127章 霍奇猜想的新思路
大概是在年初那會兒，陸舟還冇有將陳陽從燕大數學中心挖來的時候，這位陳教授便在研究霍奇猜想了。
陸舟還記得，當時他在黑板上研究自己的超橢圓曲線分析法，並且用了一種非常巧妙的方法，將這個原本為準黎曼猜想設計的數學工具，改進之後直接運用在了對非奇異複代數簇的代數拓撲，以及其定義子簇的多項式方程所表述的幾何關聯問題的研究上。
當初也正是因為這一手漂亮的操作，讓陸舟不禁動了愛才之心，將他從燕大數學中心挖到了金陵這邊來。
現在已經過去快一年了，關於霍奇猜想的課題仍然冇有絲毫的進展，再加上前段時間一直在忙代數幾何統一理論的事情，以至於陸舟都快把這件事給忘了。
“走，去我辦公室說。”
帶著陳陽來到了自己的辦公室，陸舟親自去牆角幫他拖來了一張白板，並且將自己的記號筆遞到了他的手上。
冇有將時間浪費在客套上，接過了筆之後，站在白板前的陳陽思索了片刻，首先在白板上隨手畫了個圓，然後在旁邊標記了S，並寫下了一行表達式。
“……對於緊致無邊的曲麵S，其Gauss曲率K可以在整個曲麵上進行積分。”
一邊寫著，陳陽一邊繼續說道。
“眾所周知的是，一個曲麵不一定隻容有一個度量，所以我嘗試對S的度量進行了更換。在更換了度量之後，相應的Gauss曲率K同樣也會發生改變，但積分值卻與曲麵的度量無關，而隻與曲麵的Euler示性數X(S)有關，利用這一性質，我們可以——”
看著白板上的算式，陸舟眉毛輕輕抬了下，饒有興趣地說道。
“Gauss-Bonnet公式？”
手中的筆停住，陳陽點了下頭說道。
“正是。”
說罷，他將Gauss-Bonnet公式寫了上去。
看到這畫龍點睛的一筆，陸舟的臉上感興趣的神色愈發濃烈了。
事實上，他大概已經猜到，陳陽是打算乾什麼了。
根據高維黎曼流形M的性質，Gauss曲率可以推廣為截麵曲率，它的值可以由黎曼曲率的張量決定。至於其被積函數，則是由曲率張量組成的很複雜的代數式——即Gauss-Bonnet被積函數。
至於其在整個流形上的積分，則是由這個流形的Euler示性數X(M)所決定。
利用這些性質，便能夠將Hodge理論推廣到完備非緊流形中。
這些深刻的數學意義，是由陳省身教授得到的，也就是著名的Gauss–Bonnet–陳公式中的數學內涵。
再結合阿提亞爵士的L2上同調方法，沿著這條思路繼續走下去，搞不好還真能把這個猜想給證出來。
當然，具體該如何證明，還需要深入研究一下就是了。
想到這裡，陸舟讚許地點頭。
秒啊。
實在是妙。
不知何時，陳陽的背後已經站了一圈人。
早在他剛剛開始板書的時候，辦公室裡的人便注意到了這邊。
盯著白板上的算式，季默兩眼發光，激動的小聲說道：“這，難道就是傳說中的——”
見自己師弟說話又隻說了一半，何昌文皺了下眉頭，低聲道：“到底是啥，彆賣關子。”
季默奇怪地看了他一眼。
“霍奇猜想啊！很明顯嘛。”
何昌文：“……”
這特麼哪裡明顯了？！
不過仔細一看，好像確實是這樣。
想到這裡，何昌文不禁在心中安慰了自己一句。
嗯，如果認真看的話，他應該也是能看出來的。
白板上的筆停下了，陳陽陷入了沉思。
顯然，這條思路他隻走到了一半，後麵該怎麼走還冇有很好的想法。
不知何時來的辦公室，站在旁邊一直沉默不語的佩雷爾曼教授，忽然開口說道。
“這條思路看起來有點意思。”
回頭看向了佩雷爾曼教授，陳陽微微愣了下，有些意外地說道。
“您是什麼時候過來的？”
“大概在你寫到一半的時候……本來我是來找陸教授的，冇想到在這裡還有意外收獲，”停頓了一下，佩雷爾曼繼續說，“……可以給我用下筆嗎？”
冇有任何的猶豫，陳陽果斷將手中的記號筆讓了出來。
從陳教授的手中接過了筆，站在白板前的佩雷爾曼沉思了片刻，隨後在他的算式下麵空了幾行，繼續寫了起來。
“既然有現成的代數幾何統一理論可以運用，式（3）的證明我就省略了。”
“……我的建議是，對於之後部分的證明，我們可以將緊流形M問題提升到它的通用複蓋流形上，得到完備非緊流形M。”
“根據阿提亞的定理，如果我們能在截麵曲率的條件下證明除了中間的L2同調群其餘都為零……”
說著，他手中的筆輕輕抖了一下，很快寫下了一行簡潔而優美的算式。
【H^n(M)6≠{0}，且當q≠n時，H^q(M)={0}】
看到這行算式的瞬間，陳陽的瞳孔微微收縮。
臉上的表情瞬間浮現了一絲明悟，他壓抑著激動的語氣說道。
“……我們就能得到霍奇猜想的證明！”
那麼問題來了。
該如何證明，在截麵曲率的條件下，除了中間的L2同調群其餘都為零？
對話到這裡忽然戛然而止了。
短暫的興奮之後，兩人不約而同地陷入了沉默。
最後，又不約而同地看向了陸舟。
注意到兩人看向自己，從頭到尾一句話都冇說的陸舟忽然眨了眨眼，笑著說道。
“我覺得你們的想法都不錯……雖然我冇仔細研究過這個課題，但直覺告訴我照著這條路走下去，八成是能夠有所收獲的。”
頓了頓，他繼續說道。
“這個思路非常有意思，我的建議是，你們不如一起研究這個課題好了。”
總感覺陸舟似乎看出來了些什麼，卻又冇有把話說明白。
佩雷爾曼皺了下眉頭，遲疑問道。
“你不參與嗎？這可是個很有意思的難題。”
何止是有意思。
霍奇猜想可以說是現代數學發展中抽象特征的集中體現，研究的是數學三大分支——分析、拓撲、代數幾何之間的內在聯係。
至於難度，作為千禧難題的它，自然是毋庸置疑的。
令佩雷爾曼詫異的是，陸舟居然冇有表現出很強烈的興趣。
陸舟：“……雖然我很感興趣，但IMCRC那邊還有一堆事情等著我去處理，恐怕最近我都冇有更多的時間，能夠分配到數學這邊了。”
聽到這個消息，佩雷爾曼臉上露出了遺憾的表情。
“那實在是太遺憾了。”
“雖然我恐怕抽不出時間幫忙，但我鄭重的向你推薦陳教授，”拍了拍陳陽的肩膀，陸舟笑著說道，“他是一位優秀的學者，關於他的能力，相信你也是了解的，我就不多吹牛了。總之，你們合作的話，我相信一定能夠解決這個問題。”
雖然對這種絕對的說法表示懷疑，但看了一眼陳教授，佩雷爾曼也冇有說什麼，隻是點了下頭，看樣子是認可了這位合作夥伴。
兩人都是那種話不多的類型，也冇有太多的交流。
陸舟清了清嗓子之後，看著佩雷爾曼繼續說道。
“說起來，你繼續留在這邊冇問題嗎？代數與幾何的統一理論已經完成了。”
“冇有問題，”佩雷爾曼搖了搖頭，“我和母親已經打過電話了，她讓我去做自己想做的事情，不用太在意她那邊。我確實還有想做的事情冇有完成，我打算在這裡……再待一段時間，把霍奇猜想解決了再回去。”
雖然很意外佩雷爾曼教授居然會選擇留下來，但這種好事陸舟自然是不會拒絕，當即笑著說道。
“那你還是住在原來那個公寓吧，我會幫你申請延長公寓的使用時間。”
佩雷爾曼點了點頭，感謝道。
“麻煩你了。”